Dow Jones Getirilerinde Maksimum Olabilirlik Tahmini ve Dağılım Analizi

Proje Bağlamı

Finansal getiriler, çoğu zaman basit olasılık modellerinin varsayımlarından belirgin biçimde farklı istatistiksel özellikler gösterir.

Bu projede, 1995–2023 dönemine ait Dow Jones Industrial Average (DJIA) kapanış fiyatlarını kullanarak günlük yüzdesel getirilerin dağılımını analiz ettim ve Normal dağılımın parametrelerini doğrudan veriden tahmin etmek için Maksimum Olabilirlik Tahmini (Maximum Likelihood Estimation, MLE) uyguladım.

Proje birbiriyle ilişkili ancak farklı iki soruyu ele aldı:

1. Seçilen bir olasılık modelinin parametreleri gözlemlenen veriden doğru biçimde tahmin edilebilir mi?
2. Seçilen olasılık modeli, gözlemlenen ampirik dağılımı gerçekten yeterli biçimde temsil ediyor mu?

Bu ayrım önemlidir; çünkü bir optimizasyon prosedürü, seçilen model ailesi veriyi eksik temsil etse bile o model ailesi içindeki en iyi parametreleri doğru biçimde belirleyebilir.

Araştırma Hedefleri

1. Tarihsel DJIA fiyatlarından günlük yüzdesel getiri serisi oluşturmak.
2. Ampirik getiri dağılımını betimsel istatistikler ve görselleştirme yoluyla incelemek.
3. Normal dağılım için log-olabilirlik amaç fonksiyonunu sıfırdan uygulamak.
4. Dağılım parametrelerini scipy.optimize.minimize kullanarak sayısal olarak tahmin etmek.
5. Geliştirdiğim uygulamayı SciPy'nin yerleşik .fit() tahmin edicisiyle karşılaştırarak doğrulamak.
6. Uydurulan Normal yoğunluk fonksiyonunu ampirik getiri dağılımıyla karşılaştırmak ve modelleme varsayımının sınırlarını incelemek.

Veri Kümesi

Tarihsel DJIA kapanış fiyatları, şu dönem için Stooq üzerinden elde edildi:

Ocak 1995 – Kasım 2023

Ardışık kapanış fiyatlarından günlük yüzdesel getiriler türetildi ve olasılık modeli uygulanmadan önce seri hem sayısal hem de görsel olarak incelendi.

Yöntem

Dağılım Analizi

Getiri serisinin şu betimsel özelliklerini inceledim:

• Örneklem ortalaması
• Örneklem varyansı
• Örneklem çarpıklığı
• Örneklem aşırı basıklığı
• Ampirik getiri dağılımı

Bu tanılayıcılar, gözlemlenen verinin Normal dağılımın varsaydığı simetrik ve hafif kuyruklu davranışa ne ölçüde benzediğini değerlendirmek için kullanıldı.

Maksimum Olabilirlik Tahmini

Normal dağılım için şu parametrelere sahip özel bir negatif log-olabilirlik fonksiyonu uyguladım:

• ortalama, μ
• standart sapma, σ

Parametreler scipy.optimize.minimize kullanılarak sayısal biçimde tahmin edildi ve standart sapma tahmininin pozitif kalmasını sağlamak için bir kısıt uygulandı.

Bağımsız Doğrulama

Uygulamanın doğruluğunu kontrol etmek için aynı parametreleri bağımsız olarak:

scipy.stats.norm.fit

kullanarak da tahmin ettim.

Özel optimizasyon yöntemi ve SciPy uygulamasıyla elde edilen yoğunluk fonksiyonları daha sonra hem birbirleriyle hem de ampirik getiri dağılımıyla karşılaştırıldı.

Sonuçlar

Geliştirdiğim MLE uygulaması ile SciPy'nin yerleşik Normal dağılım uydurma yöntemi, dört ondalık basamağa kadar aynı parametre tahminlerini üretti.

Bu sonuç önemli bir uygulama kontrolü sağladı: log-olabilirlik fonksiyonu ve sayısal optimizasyon, standart maksimum olabilirlik çözümünü doğru biçimde yeniden üretiyordu.

Ancak iki tahmin edicinin aynı sonucu vermesi, Normal dağılımın ampirik getiriler için yeterli bir model olduğu anlamına gelmiyordu.

Dağılım analizi, gözlemlenen verinin basit bir Normal modelden beklenen davranıştan, özellikle kuyruklarda, belirgin biçimde ayrıldığını gösterdi. Bu nedenle uydurulan Normal yoğunluk fonksiyonu, tahmin prosedürünü doğrulamak için kontrollü bir model sağlarken gözlemlenen getiri dağılımının tüm özelliklerini temsil edemedi.

Projenin temel sonucu iki farklı doğruluk kavramı arasındaki ayrımdı:

seçilen model ailesi koşulu altında parametreler doğru biçimde tahmin edilebilirken, model ailesinin kendisi verinin yetersiz bir temsili olabilir.

Katkılar

• Uzun dönemli bir DJIA günlük getiri serisi oluşturdum ve analiz ettim.
• Ampirik dağılımı betimsel istatistikler ve dağılım görselleştirmeleri kullanarak inceledim.
• Normal dağılım parametrelerini tahmin etmek için negatif log-olabilirlik amaç fonksiyonunu sıfırdan uyguladım.
• Normal modelin parametrelerini sayısal optimizasyon kullanarak tahmin ettim.
• Aynı parametre tahminlerini bağımsız olarak scipy.stats.norm.fit kullanarak yeniden elde ettim.
• Uydurulan olasılık modelini ampirik getiri dağılımıyla karşılaştırdım.
• Bir model ailesi içinde parametrelerin doğru tahmin edilmesi ile model ailesinin veriye uygun olması arasındaki ayrımı ortaya koydum.

Kapsam ve Sınırlar

Uygulanan MLE deneyi yalnızca Normal dağılımı modelledi.

Ampirik analiz, daha ağır kuyrukları veya asimetriyi temsil edebilen dağılımların alternatif modelleme seçenekleri olabileceğini gösterdi; ancak bu dağılım aileleri proje kapsamında tahmin edilip karşılaştırılmadı.

Bu nedenle sonuçlar, DJIA getirileri için en uygun olasılık dağılımının belirlendiği şeklinde yorumlanmamalıdır. Normal dağılım bunun yerine MLE'nin uygulanması ve doğrulanması için kontrollü bir ortam sağlarken, aynı zamanda kusurlu bir dağılım varsayımının sonuçlarını incelemeye olanak tanıdı.

Projenin Önemi

Bu projenin temel sonucu, bir modelleme prosedürünün doğru uygulanmasının ortaya çıkan modelin gerçekliği yeterli biçimde temsil ettiği anlamına gelmediğini göstermesiydi.

İki bağımsız tahmin yöntemi, aynı optimizasyon problemini çözdükleri için optimal parametreler üzerinde uzlaşabilir. Bu uyum, uygulamanın doğru çalıştığını doğrular; ancak modelin temelini oluşturan varsayımların doğruluğunu kanıtlamaz.

Proje böylece istatistiksel ve makine öğrenmesi sonuçlarını yorumlarken önemli olan tahmin prosedürünün doğruluğu ile modelin geçerliliğini birbirinden ayırma konusunda uygulamalı deneyim kazandırdı.